Как выводится и формулируется второй закон Ньютона в импульсной форме

Второй постулат динамики записывают несколькими способами, например, используя импульс. Указанная формулировка встречается гораздо реже обычного, однако решает ряд задач школьной, университетской механики.

второй закон Ньютона в импульсной форме

Второй закон Ньютона в импульсной форме

В общем случае запись главного постулата динамики включает три составляющие:

  • массу, m;
  • ускорение, a;
  • воздействие, F.

второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона в импульсной форме записывают, определив изначально импульс тела импульс тела – величину, получаемую вследствие умножения массы на скорость движения:

формула расчета импульса тела

Измеряется результатом деления произведения килограмма, метра  на секунду – единица измерения импульса

Очевидно: описываемая мера механического движения — величина векторная, совпадающая с направлением вектор скорости

Физика использует понятие импульса силы импульс силы – величины, равной результату произведения существующего воздействия, времени:

формула расчета импульса силы

Измеряется произведением ньютона, секунды – единицы измерения импульса силы

Сформулируем 2 закон Ньютона через импульс:

Импульс действующей силы равен изменению импульса объекта.

Похожая формулировка:

Изменение импульса во времени равно величине действующей силы.

Второй закон ньютона в импульсной форме формула

Самостоятельно выразим требующуюся формулу, используя известную запись:

второй закон Ньютона

Определение ускорение  гласит: данная величина характеризует увеличение, уменьшение скорости:

ускорение расчет

Аналогично:

другая запись формулы расчета ускорения

скорость – приобретённая, начальная скорости,

время– изменение времени.

Зная стандартный вид постулата, выразим ускорение, приравняем к полученному выражению:

ускорение из формулы второго закона Ньютона

вывод формулы второго закона Ньютона в импульсной форме 1

Части уравнения умножим на \dpi{100} \large m\cdot \Delta t , получим:

вывод формулы второго закона Ньютона в импульсной форме 2

Правая часть уравнения равна \dpi{100} \LARGE p-p_{0}, преобразуем равенство, получим:

второй закон Ньютона в импульсной форме

Глядя на получившуюся формулу сформулируем второй закон Ньютона через импульс.

Изменение импульса тела равно импульсу действовавшей на тело силы.

Формулировка аксиомы ньютоновской динамики, использующая понятие импульса, полностью соответствует виду, изначально выведенному учёным. Получить подобную запись возможно, учитывая оператор, называемый дифференциалом. Дифференциал функции d – приращение, изменение.

Формула a записывается видом:

вывод формулы второго закона Ньютона через дифференциал

Читается: «изменение скорости при изменяющемся времени».

Приравнивая правые части, получаем:

вывод формулы второго закона Ньютона через дифференциал 1

Умножаем части уравнения на m, сразу вносим массу под знак дифференциала:

вывод формулы второго закона Ньютона через дифференциал 2

Результат:

вывод формулы второго закона Ньютона через дифференциал 3

В каких случаях применяют импульсную форму

Некоторые задачи невозможно решить, применяя обычную формулу постулата динамики. Например, задания движения тела изменяющегося веса.

Русский механик, учёный Иван Всеволод Мещерский на основе импульсной формы вывел уравнение, позволяющее решать задачи перемещения объектов переменной массы. Уравнением Мещерского удобно выводить формулу Константина Эдуардовича Циолковского, использующуюся при проектировании баллистических, космических ракет. Указанные летательные аппараты — реальный пример тел, изменяющих вес.

Более приземлённые, обыденные задачи применения описываемой записи 2 постулата – движение двух сталкивающихся шаров, движение одного шара, ударяющегося о препятствие.

Пример использования

Пусть шарик, обладающий массой m, неизменяющейся скоростью вектор скорости, ударяется о стену под углом угол альфа, спустя разница времени отлетает.

шарик перемещается с изменяющейся скоростью
шарик перемещается с изменяющейся скоростью

Принимаем допущение: стена гладкая, трение отсутствует. Шарик, ударяясь, испытывает воздействие силы упругости N.

на шар воздействует сила упругости
на шар воздействует сила упругости

Известно:

второй закон Ньютона в импульсной форме

Сила, действующая на тело, является единственной, видоизменим запись:

решение задачи

Найдём импульс, используя правило сложения векторов – векторный треугольник.

векторный треугольник
векторный треугольник

Потери скорости отсутствуют, вес остаётся прежним, следовательно, равенство импульсов. Получившийся векторный треугольник равнобедренный. Неизвестный вектор:

расчет дельта p

N равна:

\dpi{100} \huge N=\frac{\Delta p}{p}=\frac{2p\cos \alpha }{\Delta t}.

Второй закон Ньютона в импульсной форме позволяет решать задачи разного уровня значимости: школьные типовые задания, проекты космического масштаба.

Ссылка на основную публикацию