Вывод второго закона Ньютона для вращательного движения + примеры решения задач

Второй закон Ньютона для вращательного движения – главное тождество динамики, помогающее решить основную задачу механики для вращающегося тела: указать угол поворота тела в любой промежуток времени.

вращательное движение 2

Задача механики поступательного движения считается решенной если в любое мгновение легко указать положение материальной точки относительно других тел, при условии, заданной системы отсчета.

Кроме поступательного существует вращательное движение – это такой вид движения при котором каждая точка движется по окружности, центры окружности лежат на одной прямой (оси вращения).

Характеристики вращательного движения:

  • Всякая точка абсолютно твердого тела перемещается по дуге круга;
  • «Ядра» окружностей расположены вдоль одной линии – ось вращения
  • Разные точки передвигаются по разным траекториям;
  • Зависимости перемещения по времени представляют отличные значения, изменяющиеся по направлению;
  • Углы поворота точек – одинаковы.

Аналоги характеристик поступательного и вращательного движения

Параметры вращательного перемещения необходимо рассматривать, проводя сравнение с характеристиками поступательного.

Справка! При передвижении поступательно: указывается вектор силы, через II закон создателя классической механики – Ньютона выражается векторная величина – ускорение, зная его кинематика помогает выводить координаты x, y, z.

 Последовательность нахождения координат тела в любой момент времени для поступательного перемещения:

  1. зная силу F находим ускорение a;
  2. из ускорения находи координаты x,y,z.

Пойдем от обратного для вращательного движения:

Найти нам необходимо угла поворота – φ в любой момент времени, для этого используем угловое ускорение ε, а вот аналог силы F мы пока не знаем.

 

Опишем кинематику вращательного движения.

  • Аналог линейной скорости во вращательном движении это угловая скорость ω — выражается отношением:
угловая скорость
угловая скорость

угол поворота — угол поворота

незначительный отрезок времени

— незначительный отрезок времени

  • Вспомним формулу линейной скорости υ точки находящейся на вращающемся теле, для этого умножим угловую скорость ω и r — расстояние от оси до искомой точки.

формулу линейной скорости υ точки находящейся на вращающемся теле

Виды вращательного движения:

  1. Равномерное вращение.

Поворот предмета за равные промежутки времени на одинаковые углы говорит о равномерности перемещения. Угловое ускорение отсутствует.

Уравнение движения выглядит:

уравнение для равномерного вращательного движения

угол поворота в любой момент времени — угол поворота в любой момент времени,

начальный угол поворота — начальный угол поворота

Угловая скорость постоянна, но линейная скорость постоянно изменяет направление, а это означает, что существует центростремительное ускорение, направленное по радиусу к центру окружности.

центростремительное ускорение 1
центростремительное ускорение
  1. Неравномерное вращение

При неравномерном перемещении постоянное угловое ускорение принимает вид:

формула постоянного углового ускорения
постоянное угловое ускорение

При низменном \LARGE \varepsilon (\varepsilon -const), закон изменения угловой скорости получается:

закон изменения угловой скорости

Подставляя полученные данные в формулу движения при равномерном вращении получим:

уравнение для равномерного вращательного движения 2

Вспомним как рассчитать угол поворота тела тремя разными способами:

Первый способ.

первый способ поиска угла поворота

Второй способ (через среднюю скорость).

второй способ поиска угла поворота

Третий способ:

третий способ поиска угла поворота

Сравнение формул вращательного и поступательного перемещения наглядно представлено таблично.

сравнение формул вращательного и поступательного движения

При нахождении точки на теле, неравномерно вращающемся на окружности, ускорение приобретает вид суммы:

центростремительное ускорение вектор— центростремительного и тангенциального

вектор тангенциального ускорения — тангенциального .

 

сумма ускорений
сумма ускорений

Сумма ускорений равна:

формула суммы векторов ускорений

Тангенциальное ускорение вычисляется следующим образом

тангенциальное ускорение

Используя связь υ и ω, получается:

тангенциальное ускорение 2

Нужно сформулировать ключевые тождества, включая 2 закон сэра Ньютона для вращательного механического движения, сопутствующие обозначения, необходимые в ходе решения задач.

Вывод второго закона Ньютона для вращательного движения

Пусть тело, характеристиками которого можно пренебречь закреплено на невесомом стержне, 0 – ось вращения, длиной эквивалентной отрезку r.

На материальную точку оказывает воздействие силы сила F вектор, сила реакции вектор – реакция стержня.

сила реакции нити — сила реакции нити;

сила приводящая тело в движение — сила приводящая тело в движение

r — радиус нити

вывод второго закона Ньютона для вращательного движения

По II закону английского физика Исаака Ньютона второй закон динамики в векторной форме выглядит:

второй закон динамики в векторной форме

Выбор системы координат: Y – направляется по радиусу, Х – перпендикулярно.

Переписывая главное правило динамики в проекциях на эти оси:

Для этого на рисунке отобразим угол альфа и выразим через него все проекции.

OX: проекция на ось x,

OY: \LARGE -F\cos \alpha +F_{p}=ma_{y},

Из рисунка видно, что чему равен а икс — тангенциальное ускорение, и чему равен а игрек – модуль центростремительного ускорения

Вспомним, что тангенциальное ускорение равно:

тангенциальное ускорение 2

Перепишем уравнение проекции на ось x с учетом этого знания:

уравнение проекции на ось х 2

Вычислим угловое ускорение из полученной формулы:

вычисление углового ускорения

Умножая на дробь на радиус:

вычисление углового ускорения с умножением на радиус

Далее надо визуально отобразить на рисунке rsinα.

вывод второго закона Ньютона для вращательного движения 2

Как видно из полученного рисунка перпендикуляр d – плечо силы F.

Из построения:

плечо силы

формула момента силы

М – момент силы.

угловое ускорение через момент

выражаем момент силы

Сравнивая с выражением:

второй закон Ньютона

I=mr2– мера инертности тела, момент инерции.

Выходит: 2 закон Ньютона представлен для вращательного движения:

второй закон Ньютона для вращательного движения

Словесная формулировка основного тождества динамики вращательного перемещения:

Алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело тождественно произведению момента инерции тела на его угловое ускорение.

 Внимание! сила реакции нити – не учитывается: направлена вдоль r , проходит через 0.

Практическое применение второго закона Ньютона для вращательного движения

Перемещение путем вращения часто находит практическое применение. Яркие примеры:

  • Колеса транспортных средств;
  • Шестеренки;
  • Роторы электродвигателей.

Простые «мозголомки» из школьного курса физики

Задание 1. Велосипедное колесо

Определить меру инертности у велоколеса диаметром 67 см с массой 1,3 кг? Возможно, не учитывать массу ступицы?

Порядок ответа:

Колесо целесообразно разбить на N мельчайших фрагментов размером Δl с массой Δm.

 Внимание! Внутренней структурой колеса пренебречь нельзя. Поэтому его фрагменты –  материальные точки.

задача про велосипедное колесо

Мера инертности вычисляется из выражения:

формула меры инертности части колеса

Для N частей:

сумма всех мер инертности

Получается:

\LARGE I=\frac{md^{2}}{4}=0.15  кг х м2

Радиус ступицы много меньше обода колеса, при расчете не учитывается.

Задача 2.  Взаимодействие кинематики и динамики

Материальная точка перемещается по окружности, ее радиальное ускорение изменяется пропорционально четвертой степени времени. Найти n из отношения \LARGE M\sim t^{n}.

 Внимание! M – действует на точку относительно оси вращения.

Решение:

Записывается второй закон Ньютона для вращательного движения:

формула второго закона Ньютона для вращательного движения

Нормальное ускорение:

центростремительное ускорение формула

Выражая угловую скорость:

угловая скорость через центростремительное ускорение

Учитывая, неизменность расстояния до центра окружности, центростремительное ускорение в задаче:

угловая скорость по условиям задачи

Итог:

\LARGE \frac{d\omega }{dt}\sim t\rightarrow M\sim t\rightarrow n=1

Упражнение  3.  Графическое представление

Одно тело вращается по зависимости 1, потом действие момента сил изменяется согласно графику 2. Нужно сравнить угловые скорости в точках A и B.

Рисунок к задаче №3

Процесс размышлений:

Основной закон динамики перемещения путем вращения:

формула второго закона Ньютона для вращательного движения

Угловая скорость:

\LARGE \omega =\frac{1}{I}\int_{t_{1}}^{t_{2}}Mdt

Поскольку тело одно, 1/I неизменно.

Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейных трапеций.

Случай 1: \LARGE S_{\Delta _{1}}=\frac{1}{2}x2x5=5

График 2: \LARGE S_{\Delta _{2}}=\frac{1}{2}x1x10=5

Результат: \LARGE S_{\Delta _{1}}= S_{\Delta _{2}}

Получается: \LARGE \omega _{1}=\omega _{2}

Задание 4.  Шары

Два точечных шарика, обладающие равными массами скреплены тонкой невесомой спицей l. Записать выражение момента инерции системы, относительно оси, перпендикулярно соотносящейся со спицей и центром масс.

Рисунок к задаче №4

Ход рассуждений:

Центр оси расположен между шарами: \LARGE r=\frac{1}{2}

Мера инертности I1:

\LARGE I_{1}=m\left ( \frac{l}{2} \right )^{2}=m\frac{l^{2}}{4}

\LARGE I_{1}=I_{2}

Мера инертности системы:

\LARGE I=I_{1}+I_{2}=m\frac{l^{2}}{2}

Упражнение 5. Гири

Грузы массами 2 и 1 килограмм связаны ниткой, перекинутой через блок, весящий 1 килограмм. Вычислить ускорение перемещения гирь? Рассчитать натяжение нитей?

Справка! Блок считается диском, сделанным из однородного материала. Трением не учитывается.

Поиск решения:

рисунок к задаче № 5

 

Векторный вид поступательного передвижения:

\LARGE m_{1}\vec{a}=m_{1}\vec{g}+\vec{T}_{1}

\LARGE m_{2}\vec{a}=m_{2}\vec{g}+\vec{T}_{2}

Перемещение диска – вращение:

\LARGE I\vec{\varepsilon }=\vec{M}_{1}+\vec{M}_{2}

М1– для натяжения нитиТ1;

М2– для натяжения нитиТ2.

Первые 2 равенства надо спроектировать на Х, последнее – Y.  Записать уравнение кинематической связи. Получается система:

\LARGE \left\{\begin{matrix} m_{1}a=m_{1}g-T_{1} (1)\\ -m_{2}a=m_{2}g-T_{2} (2)\\ I\varepsilon =RT_{1}-RT_{2}(3)\\ a=\varepsilon R(4) \end{matrix}\right.

Подставляя 4 тождество в 3:

\LARGE I\frac{a}{R}=R(T_{1}-T_{2}) (5)

Вычитая (2) из (1), переписывается (5):

\LARGE a=\frac{(m_{1}-m_{2})g}{m_{1}+m_{2}+\frac{m}{2}}=2.8 m/c^{2} (6)

Численное значение из выражения (6) подставляется в (1) и (2):

\LARGE T_{1}=m_{1}(g-a)=14H

\LARGE T_{2}=m_{2}(g+a)=12.6H

Практическое применение в жизни

Автомобиль

Вопрос:

Ускорится автомобиль, если установить шины большего диаметра?

Ответ:

Нет. Чем больше диаметр шин, тем выше линейное ускорение. Каждый автомобиль обладает максимальным угловым ускорением, соответствующее его мощности. Мощность машины ограничена, увеличение диаметра шин приведет к снижению углового ускорения, линейное не изменится.

«Что-то странная какая-то утка, на курицу похожа…»

«Деревенская» задача:

Домашние птицы: селезень и курица имеют одинаковую длину шага. Почему курица бегает ровно, а селезень перемещается переваливаясь?

Пояснение:

Расстановка лап селезня шире, центр тяжести расположен дальше от опоры, поэтому при ходьбе селезень вынужден делать поворот на больший угол. Момент силы тяжести от опоры увеличивается, соответственно становится больше величины угловых ускорения и скорости.

Гонки

Условие:

Европейские гонки проходят по улицам города, поэтому гонщики не снижая большой скорости совершают резкие повороты. Двигатель гоночных машин расположен посередине авто. Содержание преимущества?

Решение:

Двигатель посередине авто, обладает меньшей мерой инертности относительно центра масс, поэтому поворот осуществляется при меньшем моменте сил.

Фигурное катание

Спортивный запрос:

Зачем фигурист прижимает руки к телу?

Мнение эксперта:

Фигурист, вращаясь вокруг вертикальной оси, прижимает руки к корпусу. Момент инерции уменьшается, момент импульса остается неизменным, угловая скорость увеличивается.

Невесомость

Космическая проблема:

Космонавт находится в невесомости. Как ему совершить поворот на 180˚ вокруг продольной оси?

Распутывание Гордиева узла:

Для поворота космонавт поднимает руку над головой, провоцируя поступательные движения в направлении, противоположенному повороту.

О кошках

Дилемма:

Эмиль Кроткий утверждал: «Кошка мечтала о крыльях: ей хотелось попробовать летучих мышей». Люди не раз пытались подкидывать животное вверх ногами, при этом приземление всегда осуществляется на лапы. Момент внешних сил равен нулю, момент импульса сохраняется. Как кошке удается переворачиваться?

Разгадка:

Момент импульса кошки, находящейся в свободном падении остается постоянным, моменты внешних сил отсутствуют. Вытягивая или прижимая к телу лапы, кошка изменяет меру инертности передней части тела относительно центральной оси от момента инерции задней части тела. Попеременно подтягивая передние или  задние лапы, животное совершает поворот, ускоряющийся вращением хвоста.

 

Освоение 2 закона Исаака Ньютона с учетом кинематических и динамических характеристик для вращательного механического движения на практических примерах – легкое задание: надо запастись терпением, желанием приобретать знания. Изучать физику лучше вооружившись высказыванием Морихэй Уэсибы: «Двигайся, как луч света, летай, как молния, бей, как гром, вращайся вокруг устойчивого центра!»

Ссылка на основную публикацию