Согласно истории, Иоганн Кеплер вывел соотношения, описывающие движение планет, более чем за 50 лет до того момента, как Ньютон опубликовал вывод закона всемирного тяготения. Поэтому вполне объяснимо, что формулу притяжения можно вывести на основании его эмпирических соотношений. Существует много способов выведения уже известного современной физике равенства Ньютона, описывающего взаимное притяжение тел. Один из самых простых изложен доктором педагогических наук, профессором Пинским Аркадием Ароновичем.
О истории открытия закона всемирного тяготения вы можете прочитать в статье нашего сайта.
Вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера
Чтобы описать вывод формулы всемирного тяготения, нужно обратиться к третьему закону Кеплера, который связывает периоды обращения планет Солнечной системы и большие полуоси их орбит:
где T1,2 – периоды обращения двух планет вокруг Солнца,
l1,2 – длины больших полуосей орбит.
Равенство, представленное выше, можно переписать, тогда оно будет иметь вид:
где K – постоянная Кеплера.
Если предположить, что планета движется не по эллиптической траектории, а по окружности, это соотношение будет выглядеть так:
где r – радиус орбиты, то есть расстояние от Солнца до рассматриваемого объекта.
Раз движение происходит по кругу, то тело обладает центростремительным ускорением a:
где ω – угловая скорость.
Учитывая, что
формулу для a можно видоизменить:
Из соотношения Кеплера очевидно, что:
После подстановки полученного равенства в ускорение получаем:
Согласно второму постулату механики, описанному Ньютоном, сила, сообщающая центростремительное ускорение, то есть сила воздействия Солнца на объект:
m – масса планеты.
Подставим выведенное равенство для a в соотношение выше:
Таким образом, сила, которая действует на планету, то есть сила, с которой Солнце её притягивает к себе, пропорциональна массе небесного тела и обратно пропорциональна расстоянию между ними, возведённому в квадрат.
По третьему постулату механики известно, что действие равно противодействию, а именно – не только звезда тянет к себе небесное тело, но и наоборот, и сила этого притяжения равна:
где M – масса Солнца.
Можно заключить, что:
или:Разделив обе части этого равенства на m и M и умножив на r2, получим
где G – коэффициент пропорциональности или гравитационная постоянная.
Примечание: значение G было численно определено только в конце XVIII век. Ньютон, описывая вывод закона всемирного тяготения, не использовал этот коэффициент в явном виде.
Соотношение выше путём элементарных математических преобразований можно видоизменить:
Так, второй постулат механики примет довольно знакомый вид:
Чтобы соотношение окончательно стало идентично формуле Ньютона, стоит заменить обозначения массы Солнца:
где m1,2 – массы двух тел, притягивающихся друг к другу.
Таким довольно простым способом можно самостоятельно осуществить вывод закона всемирного тяготения на основании законов Кеплера и постулатов Ньютона.
Опыт проводился при нормальных условиях, то есть при температуре 20 С. Если проводить его при температуре 100 С, не факт что значение будут такими же.