Простой и понятный вывод формулы закона всемирного тяготения из законов Кеплера

Согласно истории, Иоганн Кеплер вывел соотношения, описывающие движение планет, более чем за 50 лет до того момента, как Ньютон опубликовал вывод закона всемирного тяготения. Поэтому вполне объяснимо, что формулу притяжения можно вывести на основании его эмпирических соотношений. Существует много способов выведения уже известного современной физике равенства Ньютона, описывающего взаимное притяжение тел. Один из самых простых изложен доктором педагогических наук, профессором Пинским Аркадием Ароновичем.

солнечная система
солнечная система

О истории открытия закона всемирного тяготения вы можете прочитать в статье нашего сайта.

Вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера

Чтобы описать вывод формулы всемирного тяготения, нужно обратиться к третьему закону Кеплера, который связывает периоды обращения планет Солнечной системы и большие полуоси их орбит:

третий закон Кеплера
третий закон Кеплера

где T1,2 – периоды обращения двух планет вокруг Солнца,

l1,2 – длины больших полуосей орбит.

третий закон Кеплера иллюстрация

Примечание: обычно большие полуоси в геометрии обозначаются «a», однако здесь потребовалась замена переменной, чтобы ввести обозначение ускорения.

Равенство, представленное выше, можно переписать, тогда оно будет иметь вид:

 

вывод закона тяготения равенство 1

где K – постоянная Кеплера.

Если предположить, что планета движется не по эллиптической траектории, а по окружности, это соотношение будет выглядеть так:

 

вывод закона тяготения равенство 2

где r – радиус орбиты, то есть расстояние от Солнца до рассматриваемого объекта.

Раз движение происходит по кругу, то тело обладает центростремительным ускорением a:

центростремительное ускорение
центростремительное ускорение

где ω – угловая скорость.

Учитывая, что

угловая скорость
угловая скорость

формулу для a можно видоизменить:

 

вывод закона тяготения равенство 3

Из соотношения Кеплера очевидно, что:

 

вывод закона тяготения равенство 4

После подстановки полученного равенства в ускорение получаем:

вывод закона тяготения равенство 5

Согласно второму постулату механики, описанному Ньютоном, сила, сообщающая центростремительное ускорение, то есть сила воздействия Солнца на объект:

второй закон Ньютона

m – масса планеты.

Подставим выведенное равенство для a в соотношение выше:

вывод закона тяготения равенство 6

Таким образом, сила, которая действует на планету, то есть сила, с которой Солнце её притягивает к себе, пропорциональна массе небесного тела и обратно пропорциональна расстоянию между ними, возведённому в квадрат.

По третьему постулату механики известно, что действие равно противодействию, а именно – не только звезда тянет к себе небесное тело, но и наоборот, и сила этого притяжения равна:

вывод закона тяготения равенство 7

где M – масса Солнца.

Можно заключить, что:

равенство сил

или:вывод закона тяготения равенство 8Разделив обе части этого равенства на m и M и умножив на r2, получим

вывод закона тяготения равенство 9

где G – коэффициент пропорциональности или гравитационная постоянная.

Примечание: значение G было численно определено только в конце XVIII век. Ньютон, описывая вывод закона всемирного тяготения, не использовал этот коэффициент в явном виде.

Соотношение выше путём элементарных математических преобразований можно видоизменить:

вывод закона тяготения равенство 10

Так, второй постулат механики примет довольно знакомый вид:

вывод закона тяготения равенство 11

закон всемирного тяготения иллюстрация

Чтобы соотношение окончательно стало идентично формуле Ньютона, стоит заменить обозначения массы Солнца:

формула закона всемирного тяготения
формула закона всемирного тяготения

где m1,2 – массы двух тел, притягивающихся друг к другу.

Важно помнить, что формула всемирного тяготения работает в случаях, когда размеры одного объекта гораздо меньше размеров другого.

Таким довольно простым способом можно самостоятельно осуществить вывод закона всемирного тяготения на основании законов Кеплера и постулатов Ньютона.

Ссылка на основную публикацию