Второй закон ньютона в векторном виде: уравнение и примеры задач

Физиков всегда увлекали теоретические знания трех «китов» классической динамики, их грамотное практическое применение. Понимание основ способствует представлению примитивных движений окружающих предметов, подчиняющихся ньютоновской механике. Второй закон Ньютона в векторном виде определен Лукасовским профессором по специализации: математика и физика. Трактовка: сдвиг изменяется пропорционально силе, приложенной к объекту. Направление перемещения соответствует прямой линии, вдоль действия данной силы.

Второй закон Ньютона в векторном виде формулируется иначе современными физиками: сила, оказывающая воздействие на объект, составляет равенство произведения массы тела на ускорение, придаваемого силой. Направления физических величин совпадают. Его альтернативное название – главным тождеством (правилом) динамики.

Важно! Тело – материальная точка, движущаяся в инерциальной системе отсчета.

Содержание

Как записывается второй закон ньютона в векторной форме
Примеры задач и их решение
Задача 1 – идеальна для «новичков»
Задача 2 – подходит для проверки усвоенного материала
Задача 3 – повышенный уровень сложности
Задача 4 – упрощенная версия
Задача 5 – сверхсложный вариант

Как записывается второй закон ньютона в векторной форме

Второй закон Исаака Ньютона записывается в векторной или скалярной форме.

Скаляр – величина без направления, вектор – указывает ориентацию смещения.

Скалярное представление:

$\dpi{150} \LARGE a=\frac{F}{m}$

Векторный вид:

$\dpi{150} \LARGE \vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}$

Привычная формула:

\dpi{150} \LARGE \vec{F}=m\vec{a} — второй закон ньютона в векторном виде

$\dpi{150} \LARGE \vec{F}$ – результирующая сила, [H];
$\dpi{150} \LARGE \vec{a}$ – ускорение, [м/с²];
$\dpi{150} \LARGE m$ – масса материальной точки, [кг].

Возможно вам также будет интересно:

второй закон ньютона;

второй закон ньютона в импульсной форме.

Справка! Ускорение прямо пропорционально скорости, обратно пропорционально времени:

$\dpi{150} \LARGE a=\frac{v}{t}$

если расписать через векторные величины – это производная проекций скорости по времени: дважды берется дифференциал x, y, z по t):

$\dpi{150} \LARGE a=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left (\frac{dr}{dt} \right )=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}$

Второй образец записи главного тождества динамики через импульс тела p:

$\dpi{150} \LARGE \vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d\left ( m\vec{v} \right )}{dt}=\frac{d\vec{p}}{dt}$

Таблица отражает особенности, присущие основному правилу динамики, используемые при решении заданий.

[table id=3 /]

Внимание! Далее ориентированные параметры представлены латинскими буквами, выделенными полужирным курсивом.

Примеры задач и их решение

Джон Сантаяна – американский философ, писатель подметил: «Ребенок, получивший образование только в учебном заведении – необразованный ребенок».

Его соотечественник оратор Джим Рон высказывал схожую мысль: «Образование поможет выжить. Самообразование приведет Вас к успеху».

Собственной деятельностью Герман Оскарович Греф – российский экономист продемонстрировал верность, высказанного им утверждения: «Не верю в науку, не связанную с практикой, в образование, не связанное с практикой…»

Для достижения «признания» следует научиться решать задания любого уровня сложности.

Важно! Все единицы измерения переводятся в международную систему единиц (СИ).

Целесообразно рассмотреть ключевые задания на примерах, которые дополнительно могут усложняться.

Справка! Для успешного прохождения «миссий» по усвоению материала, нужно использовать ряд предписаний:

Обозначить систему отсчета.
Использовать графический подход. Рисунки с отмеченной направленностью параметров помогут составить все выражения для ответов на вопросы.
Дополнительно подписать необходимые формулы, соответствующие числу неизвестных.

Рекомендуем вам посмотреть видео о алгоритме решения всех задач на второй закон Ньютона в векторном виде.

Задача 1 – идеальна для «новичков»

Дано:

Бруски массами 4 и 6 килограмм связаны нерастяжимой нитью, находятся на гладкой горизонтальной поверхности. К материальной точке с большей массой приложена F=12 Н, воздействующая горизонтально. Каково ускорение движения обоих брусков? Чему равна сила натяжения нити?

Порядок выполнения:

На рисунке отображено влияние сил:

Нить нерастяжима, значит, материальные точки сдвигаются синхронно и равноускоренно.

$\dpi{150} \LARGE F_{rez}=ma$

общий вид уравнения движения.

Формулу надо переписать для предмета массой m₁:

$\dpi{150} \LARGE F_{12}=m_{1}a$

Для бруска массой m₂:

$\dpi{150} \LARGE F-F_{21}=m_{2}a$

Из эквивалента действия и противодействия, получается

$\dpi{150} \LARGE \left | F_{12} \right |=\left | F_{21} \right |=T$

Составление системы уравнений: формула (2) переписывается через T, другое – получается путем почленного сложения (2) и (3):

$\dpi{150} \LARGE \left\{\begin{matrix} m_{1}a=T\\ \left ( m_{1}+m_{2} \right )a=F \end{matrix}\right.$

Из второго равенства системы формируется:

$\dpi{150} \LARGE a=\frac{F}{m_{1}+m_{2}}$

Подставляя в первое:

$\dpi{150} \LARGE T=\frac{m_{1}F}{m_{1}+m_{2}}$

Числовые значения ставим вместо букв в записи (5) и (6).
Результат: =1,2 м/с², =4,8 Н.

Задача 2 – подходит для проверки усвоенного материала

Условие:

Есть однородный шарик массой 0,5 килограмм. К его центру прикладывают F=3,9Н. Нужно определить модуль и направление F₁, необходимой для перемещения с ускорением 7 м/с² сонаправленного F.

Решение:

Второй закон Ньютона в векторном виде:

$\dpi{150} \LARGE ma=F+F_{1}$

$\dpi{150} \LARGE F_{1}=ma-F$

F, a и F₁ располагаются вдоль одной прямой.

Микрозадача: найти проекцию F₁ на ось Х.

$\dpi{150} \LARGE F_{x}=F; a_{x}=a$

$\dpi{150} \LARGE F_{1x}=ma-F$

если $\dpi{150} \LARGE ma> F$ то $\dpi{150} \LARGE F_{1x}> 0$ ,

ось Х и F₁ одинаково ориентированы, если $\dpi{150} \LARGE ma< F$ то $\dpi{150} \LARGE F_{1x}< 0$ , – противонаправлены.

Буквы заменяются цифрами:

$\dpi{150} \LARGE F_{1x}=0.5*7-3.9=-0.4$

Ответ отрицательный, поэтому ориентация F₁ противоположена относительно оси Х.

Задача 3 – повышенный уровень сложности

Дано:

После толчка брусок начал скольжение вверх из точки 0 по гладкой наклонной плоскости. Его начальная скорость равна 5,3 м/с. Уклон поверхности 30°. Определить нахождение бруска через 4 секунды, относительно 0.

Решение:

Справка! При наличии гладкой поверхности, трение не учитывается.

Пусть 0 – начало координат. Строятся оси X и Y, отображаются: mg – вес, N – реакция опоры (перпендикулярна поверхности скольжения).

Важно! N носит название: сила нормальной реакции.

Второй закон сэра Ньютона в векторной форме: ma=mg+N . Силы, оказывающие воздействие на брусок, носят постоянный характер, смещение вдоль Х, равноускорено.

Нужно использовать кинематическое равенство:

$\LARGE x=x_{o}+v_{ox}t+\frac{a_{x}t^{2}}{2}$

Принимая:

Нахождение проекции ускорения на ось Х получается из главного правила динамики.

$\dpi{150} \LARGE ma_{x}=mg_{x}+N_{x}$

Важно записать:

$\dpi{150} \LARGE g_x=g\sin \alpha$

$\dpi{150} \LARGE N_{x}=0$

Результат выглядит:

$\dpi{150} \LARGE a_x=g\sin \alpha$

Делается подстановка в кинематическое уравнение:

$\dpi{150} \LARGE x=-v_0 t+\frac{gt^2\sin \alpha}{2}$

Внимание! Делая расчет принимать g=9.8 м/с2.

Ответ: 18 метров.

Задача 4 – упрощенная версия

Условие:

Нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, расположенный на наклонной поверхности, связаны бруски массами 16 и 24 грамма. Уклон составляет 30°. Надо найти ускорения, перемещающихся предметов. Трение не учитывать.

Выполнение:

Пусть m₂перетягивает. Изображаются оси координат.

Записываются уравнения движения брусков по проекциям на оси X и Z:

$\dpi{150} \LARGE m_2 a_z=m_2 g-T_2$

$\dpi{150} \LARGE m_1 a_x=T_1-m_1 g\sin \alpha$

Нить нерастяжима, поэтому $\dpi{150} \LARGE \left |a_x \right |=|a_z |$ . Силы натяжения равны, поскольку блок и нить невесомы.

Левые и правые части формул суммируются:

$\dpi{150} \LARGE a_x=\frac{m_2-m_1 \sin \alpha}{m_1+m_2} g=1.96 m/c^{2}$

Результат выходит больше нуля, ориентация сдвига выбрана верно.

Задача 5 – сверхсложный вариант

Дано:

Грузовик массой 2 тонны переезжает выпуклую эстакаду со скоростью 27 км/ч. Радиус кривизны дуги составляет 60 метров. Чему равна сила посередине моста, которая давит на грузовой автомобиль? Какова должна быть минимальная быстрота перемещения, чтобы давление на поверхность в верхней точке отсутствовало?

Поиск ответов:

Внимание! Необходимо сделать перевод единиц измерения в СИ: 2т=2000кг, 27км/ч=7,5 м/с.

Влияние силы тяжести обозначается – mg, нормальная реакция эстакады – N.

Из эквивалента действия и противодействия выходит:

$\dpi{150} \LARGE |N|=|F|$

F искомая величина.

Справка! Одна из осей координат направляется от предмета к центру окружности, при изображении смещения по дуге.

По второму правилу, установленному Ньютоном, центростремительное ускорение представляет сумму сил:

$\dpi{150} \LARGE \frac{mv^2}{R}=mg-N$

$\dpi{150} \LARGE N=m(g-\frac{v^2}{R})=17,725kH$

Давления на поверхность отсутствует, в случае N=0:

$\dpi{150} \LARGE \frac{mv_{min}^2}{R}=mg$

Выражение выглядит:

$\dpi{150} \LARGE v_{min}=\sqrt{gR}$ =588 м/с = 87,3 км/ч

Автомобиль оторвется от моста, если скорость передвижения будет выше минимальной.

Еще примеры решения простых задач на законы Ньютона вы можете посмотреть в видеоролике.

Из представленных выше задач можно увидеть, что второй закон, автора фундаментального труда «Математические начала натуральной философии» – Ньютона в векторной форме ключевое тождество, описывающее физические явления, способствующее решению задач по механике.

Второй закон Ньютона в векторной форме: объяснение + 5 примеров решения задач

Как записывается второй закон ньютона в векторной форме

Примеры задач и их решение

Задача 1 – идеальна для «новичков»

Задача 2 – подходит для проверки усвоенного материала

Задача 3 – повышенный уровень сложности

Задача 4 – упрощенная версия

Задача 5 – сверхсложный вариант