Второй закон Ньютона в векторной форме: объяснение + 5 примеров решения задач

Физиков всегда увлекали теоретические знания трех «китов» классической динамики, их грамотное практическое применение. Понимание основ способствует представлению примитивных движений окружающих предметов, подчиняющихся ньютоновской механике. Второй закон Ньютона в векторном виде определен Лукасовским профессором по специализации: математика и физика. Трактовка: сдвиг изменяется пропорционально силе, приложенной к объекту. Направление перемещения соответствует прямой линии, вдоль действия данной силы.

второй закон Ньютона в векторной форме

Второй закон Ньютона в векторном виде формулируется иначе современными физиками: сила, оказывающая воздействие на объект, составляет равенство произведения массы тела на ускорение, придаваемого силой. Направления физических величин совпадают. Его альтернативное название  – главным тождеством (правилом) динамики.

Важно! Тело – материальная точка, движущаяся в инерциальной системе отсчета.

Как записывается второй закон ньютона в векторной форме

 Второй закон Исаака Ньютона записывается в векторной или скалярной форме.

Скаляр – величина без направления, вектор – указывает ориентацию смещения.

Скалярное представление:

\dpi{150} \LARGE a=\frac{F}{m}

Векторный вид:

\dpi{150} \LARGE \vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}

Привычная формула:

\dpi{150} \LARGE \vec{F}=m\vec{a}
второй закон ньютона в векторном виде
  • \dpi{150} \LARGE \vec{F}результирующая сила, [H];
  • \dpi{150} \LARGE \vec{a}ускорение, [м/с2];
  • \dpi{150} \LARGE m – масса материальной точки, [кг].
результирующая сила
результирующая сила
Справка! Ускорение прямо пропорционально скорости, обратно пропорционально времени:

\dpi{150} \LARGE a=\frac{v}{t}

если расписать через векторные величины – это производная проекций скорости по времени: дважды берется дифференциал x, y, z по t):

\dpi{150} \LARGE a=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left (\frac{dr}{dt} \right )=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}

Второй образец записи главного тождества динамики через импульс тела p:

\dpi{150} \LARGE \vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d\left ( m\vec{v} \right )}{dt}=\frac{d\vec{p}}{dt}

Таблица отражает особенности, присущие основному правилу динамики, используемые при решении заданий.

Физическая системаМакроскопическое тело
МодельМатериальная точка
Описываемое явлениеПеремещение, имеющее ускорение
Примеры проявленияПередвижение планет; падение, разгон, торможение предметов
Особенности1. Объективно для любых действующих сил;
2. F и a сонаправлены;
3. Существование нескольких сил представлено равнодействующей;
4. Если Fрез=0, то a=0, получается закон инерции;
5. Допустимо применение совместно с законом инерции, эквивалентом действия и противодействия.

Внимание! Далее ориентированные параметры представлены латинскими буквами, выделенными полужирным курсивом.

Примеры задач и их решение

Джон Сантаяна – американский философ, писатель подметил: «Ребенок, получивший образование только в учебном заведении – необразованный ребенок».

Его соотечественник оратор Джим Рон высказывал схожую мысль: «Образование поможет выжить. Самообразование приведет Вас к успеху».

Собственной деятельностью Герман Оскарович Греф – российский экономист продемонстрировал верность, высказанного им утверждения: «Не верю в науку, не связанную с практикой, в образование, не связанное с практикой…»

Для достижения «признания» следует научиться решать задания любого уровня сложности.

Важно! Все единицы измерения переводятся в международную систему единиц (СИ).

Целесообразно рассмотреть ключевые задания на примерах, которые дополнительно могут усложняться.

Справка! Для успешного прохождения «миссий» по усвоению материала, нужно использовать ряд предписаний:

  1. Обозначить систему отсчета.
  2. Использовать графический подход. Рисунки с отмеченной направленностью параметров помогут составить все выражения для ответов на вопросы.
  3. Дополнительно подписать необходимые формулы, соответствующие числу неизвестных.

Рекомендуем вам посмотреть видео о алгоритме решения всех задач на второй закон Ньютона в векторном виде.

Задача 1 – идеальна для «новичков»

 Дано:

Бруски массами 4 и 6 килограмм связаны нерастяжимой нитью, находятся на гладкой горизонтальной поверхности. К материальной точке с большей массой приложена F=12 Н, воздействующая горизонтально. Каково ускорение движения обоих брусков? Чему равна сила натяжения нити?

Порядок выполнения:

  • На рисунке отображено влияние сил:

Рисунок к задаче №1

Нить нерастяжима, значит, материальные точки сдвигаются синхронно и равноускоренно.

\dpi{150} \LARGE F_{rez}=ma

общий вид уравнения движения.

  • Формулу надо переписать для предмета массой m1:

\dpi{150} \LARGE F_{12}=m_{1}a

  • Для бруска массой m2:

\dpi{150} \LARGE F-F_{21}=m_{2}a

Из эквивалента действия и противодействия, получается

\dpi{150} \LARGE \left | F_{12} \right |=\left | F_{21} \right |=T

  • Составление системы уравнений: формула (2) переписывается через T, другое – получается путем почленного сложения (2) и (3):

\dpi{150} \LARGE \left\{\begin{matrix} m_{1}a=T\\ \left ( m_{1}+m_{2} \right )a=F \end{matrix}\right.

  • Из второго равенства системы формируется:

\dpi{150} \LARGE a=\frac{F}{m_{1}+m_{2}}

  • Подставляя в первое:

\dpi{150} \LARGE T=\frac{m_{1}F}{m_{1}+m_{2}}

  • Числовые значения ставим вместо букв в записи (5) и (6).
  • Результат: =1,2 м/с2, =4,8 Н.

Задача 2 – подходит для проверки усвоенного материала

 Условие:

Есть однородный шарик массой 0,5 килограмм. К его центру прикладывают F=3,9Н. Нужно определить модуль и направление F1, необходимой для перемещения с ускорением 7 м/с2 сонаправленного F.

Рисунок к задаче №2

Решение:

Второй закон Ньютона в векторном виде:

\dpi{150} \LARGE ma=F+F_{1}

\dpi{150} \LARGE F_{1}=ma-F

F, a и F1 располагаются вдоль одной прямой.

Микрозадача: найти проекцию F1 на ось Х.

\dpi{150} \LARGE F_{x}=F; a_{x}=a

\dpi{150} \LARGE F_{1x}=ma-F

если \dpi{150} \LARGE ma> F то \dpi{150} \LARGE F_{1x}> 0 ,

ось Х и F1 одинаково ориентированы, если \dpi{150} \LARGE ma< F то \dpi{150} \LARGE F_{1x}< 0,  – противонаправлены.

Буквы заменяются цифрами:

\dpi{150} \LARGE F_{1x}=0.5*7-3.9=-0.4

Рисунок 2 к задаче №2

Ответ отрицательный, поэтому ориентация F1  противоположена относительно оси Х.

Задача 3 – повышенный уровень сложности

 Дано:

После толчка брусок начал скольжение вверх из точки 0 по гладкой наклонной плоскости. Его начальная скорость равна 5,3 м/с. Уклон поверхности 30°. Определить нахождение бруска через  4 секунды, относительно 0.

Рисунок к задаче №3

Решение:

Справка! При наличии гладкой поверхности, трение не учитывается.

Пусть 0 – начало координат. Строятся оси X и Y, отображаются:  mg – вес, N – реакция опоры (перпендикулярна поверхности скольжения).

Важно! N носит название: сила нормальной реакции.

Второй закон сэра Ньютона в векторной форме: ma=mg+N. Силы, оказывающие воздействие на брусок, носят постоянный характер, смещение вдоль Х, равноускорено.

Нужно использовать кинематическое равенство:

\LARGE x=x_{o}+v_{ox}t+\frac{a_{x}t^{2}}{2}

Принимая:

\dpi{150} \LARGE x_{o}=0, v_{ox}=- v_{o}

Нахождение проекции ускорения на ось Х получается из главного правила динамики.

\dpi{150} \LARGE ma_{x}=mg_{x}+N_{x}

Важно записать:

\dpi{150} \LARGE g_x=g\sin \alpha

\dpi{150} \LARGE N_{x}=0

Результат выглядит:

\dpi{150} \LARGE a_x=g\sin \alpha

Делается подстановка в кинематическое уравнение:

\dpi{150} \LARGE x=-v_0 t+\frac{gt^2\sin \alpha}{2}

Внимание! Делая расчет принимать g=9.8 м/с2.

Ответ: 18 метров.

Задача 4 – упрощенная версия

 Условие:

Нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, расположенный на наклонной поверхности, связаны бруски массами 16 и 24 грамма. Уклон составляет 30°. Надо найти ускорения, перемещающихся предметов. Трение не учитывать.

Рисунок 1 к задаче №4

Выполнение:

Пусть m2 перетягивает. Изображаются оси координат.

Рисунок 2 к задаче №4

Записываются уравнения движения брусков по проекциям на оси X и Z:

\dpi{150} \LARGE m_2 a_z=m_2 g-T_2

\dpi{150} \LARGE m_1 a_x=T_1-m_1 g\sin \alpha

Нить нерастяжима, поэтому \dpi{150} \LARGE \left |a_x \right |=|a_z |. Силы натяжения равны, поскольку блок и нить невесомы.

Левые и правые части формул суммируются:

\dpi{150} \LARGE a_x=\frac{m_2-m_1 \sin \alpha}{m_1+m_2} g=1.96 m/c^{2}

Результат выходит больше нуля, ориентация сдвига выбрана верно.

Задача 5 – сверхсложный вариант

 Дано:

Грузовик массой 2 тонны переезжает выпуклую эстакаду со скоростью 27 км/ч. Радиус кривизны дуги составляет 60 метров. Чему равна сила посередине моста, которая давит на грузовой автомобиль? Какова должна быть минимальная быстрота перемещения, чтобы давление на поверхность в верхней точке отсутствовало?

Рисунок 1 к задаче №5

Поиск ответов:

Внимание! Необходимо сделать перевод единиц измерения в СИ: 2т=2000кг, 27км/ч=7,5 м/с.

 Влияние силы тяжести обозначается – mg, нормальная реакция эстакады – N.

Из эквивалента действия и противодействия выходит:

\dpi{150} \LARGE |N|=|F|

F искомая величина.

Справка! Одна из осей координат направляется от предмета к центру окружности, при изображении смещения по дуге.

По второму правилу, установленному Ньютоном, центростремительное ускорение представляет сумму сил:

\dpi{150} \LARGE \frac{mv^2}{R}=mg-N

\dpi{150} \LARGE N=m(g-\frac{v^2}{R})=17,725kH

Давления на поверхность отсутствует, в случае N=0:

\dpi{150} \LARGE \frac{mv_{min}^2}{R}=mg

Выражение  выглядит:

\dpi{150} \LARGE v_{min}=\sqrt{gR} =588 м/с = 87,3 км/ч

Автомобиль оторвется от моста, если скорость передвижения будет выше минимальной.

Еще примеры решения простых задач на законы Ньютона вы можете посмотреть в видеоролике.

Из представленных выше задач можно увидеть, что второй закон,  автора фундаментального труда «Математические начала натуральной философии» – Ньютона в векторной форме ключевое тождество, описывающее физические явления, способствующее решению задач по механике.

Ссылка на основную публикацию